Exponentielle et logarithme : savoir enfin quelle arme dégainer

Par Baptiste, cofondateur · Lecture 8 min · Mis à jour le 12/06/2026

En cours en direct, quand on attaque une équation avec exponentielle, j'entends toujours la même phrase, formulée presque mot pour mot d'une semaine à l'autre : « je connais les formules, mais je ne sais jamais laquelle utiliser ». C'est LE diagnostic de ce chapitre : le problème n'est pas la mémoire, c'est l'aiguillage. Exp et ln sont deux outils réciproques, et chaque situation appelle un geste précis. Voici l'aiguillage complet, situation par situation.

Le principe qui range tout : deux fonctions réciproques

Tout le chapitre tient dans une phrase : ln défait ce que exp fait, et réciproquement. ln(e^x) = x, e^(ln x) = x (pour x strictement positif). Conséquence pratique : résoudre une équation avec exponentielle, c'est isoler le bloc e^(...) puis « appliquer ln des deux côtés » ; résoudre avec logarithme, c'est isoler le bloc ln(...) puis appliquer exp. La justification attendue en copie tient en une formule : « par stricte croissance de la fonction ln (ou exp) sur son domaine ». Cette ligne transforme un calcul en raisonnement, et c'est elle que le barème rémunère.

L'aiguillage, type d'équation par type d'équation

e^(u(x)) = k. Si k est négatif ou nul : aucune solution (une exponentielle est toujours strictement positive : le dire rapporte le point). Sinon : u(x) = ln(k), et on résout l'équation restante.

ln(u(x)) = k. D'abord le domaine : u(x) > 0. Ensuite u(x) = e^k. Enfin la vérification des solutions contre le domaine : la ligne que les copies oublient.

e^(a(x)) = e^(b(x)) ou ln(a(x)) = ln(b(x)). Égalité des arguments (avec domaine pour ln) : a(x) = b(x), par injectivité, autrement dit la stricte monotonie.

Les équations déguisées en second degré. Le grand classique : une équation en e^(2x) et e^x. Le geste : poser X = e^x, résoudre le trinôme en X, ne garder que les racines strictement positives, puis revenir à x par ln. Ce changement de variable est tellement fréquent que je le fais répéter comme une gamme.

Les inéquations. Mêmes gestes, avec une vigilance : ln et exp étant strictement croissantes, le sens de l'inégalité se conserve. La justification doit le dire explicitement.

Limites : le réflexe croissances comparées

Dès qu'une limite mélange exponentielle (ou logarithme) et puissance de x, le théorème des croissances comparées tranche : l'exponentielle l'emporte sur toute puissance, qui l'emporte sur le logarithme. Citer le théorème nommément fait partie de la réponse. Le détail des techniques de limites (factorisation par le terme dominant, formes indéterminées) est dans le guide limites et continuité : les deux chapitres travaillent main dans la main, et les études de fonctions du bac les convoquent ensemble.

Comment je fais tomber le « je ne sais pas laquelle utiliser »

Par le tri avant le calcul : sur une feuille, dix équations variées, et pour chacune une seule consigne : identifier le type (les cinq ci-dessus) et annoncer le geste, sans résoudre. Quinze minutes de cet exercice d'aiguillage font plus que deux heures de résolution en aveugle, parce qu'elles entraînent exactement la compétence qui manque : reconnaître. Ensuite seulement, la résolution complète en recherche active, cours fermé, et le bilan des erreurs au carnet. Ce chapitre est au cœur de l'épreuve : une étude de fonction avec exponentielle tombe presque chaque année, et un élève dont l'aiguillage est rodé y récolte des points avec une régularité qui change une moyenne.

Les questions qui reviennent en cours sur ce chapitre

Baptiste · Cofondateur de Confiance Maths

En prépa, je suis passé de 6,2 à 17,9 de moyenne en changeant une seule chose : ma méthode de travail. J'accompagne aujourd'hui des élèves de Terminale en spé maths, avec un cours en direct chaque semaine, un suivi du travail entre les séances et un rapport envoyé aux parents tous les lundis. Mon histoire complète.